In de Tweede onvolledigheidsstelling gaat Gödel een stap verder dan in de eerste. Waar de eerste gaat over stellingen die onbewijsbaar zijn, laat Gödel in de tweede stelling zien dat een formeel systeem de eigen consistentie niet kan bewijzen
Vanuit de eerste onvolledigheidsstelling weten we dat een uitspraak onbeslist kan zijn en dat is een probleem in de logica, want dan kun je een zin maken als:
Als de rekenkunde consistent is, dan is een stelling uit de eerste onvolledigheidsstelling niet bewijsbaar
Maar tegelijk is deze zin volgens diezelfde eerste onvolledigheidsstelling niet bewijsbaar. Ook door nieuwe regels aan het formele systeem toe te voegen kan het probleem niet worden opgelost, want ook daarop zal een nieuwe onbewijsbare en onweerlegbare stelling in het aangepaste systeem ontstaan.
De uiterste consequentie van de tweede onvolledigheidsstelling is dat we niet in staat zullen zijn te bewijzen dat de rekenkunde en wiskunde consistent zijn. Met een sterkere theorie kan de consistentie wel worden aangetoond, maar ook die theorie kan zichzelf niet bewijzen.
Meer weten:
Incompleteness, Rebecca Goldstein, 2005
On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, Kurt Gödel, 1992.