In de eerste onvolledigheidsstelling stelt Gödel dat binnen ieder wiskundig systeem met formele regels er uitspraken zijn die niet bewezen kunnen worden.
In dit bewijs vormt Gödel een tekstueel kloppende zin die iets over zichzelf beweert. Om het in een eenvoudige zin uit te drukken kan onderstaande zin als voorbeeld dienen:
Deze zin is niet waar
Als de zin waar zou zijn is hij tegelijk niet waar.
Andersom kun je ook stellen als de zin niet waar is de zin juist waar zou moeten zijn.
Hoe je ook naar de zin kijkt, het blijft steeds een lastige zin die niet blijkt te kloppen. Eigenlijk zou je moeten stellen dat het resultaat onbeslist is.
De eerste onvolledigheidsstelling van Gödel heeft nog een bijzondere eigenschap. Daarom wordt deze ook gebruikt om te beredeneren dat mensen iets kunnen wat computers niet kunnen. Mensen kunnen de waarheid van een Gödelzin wel begrijpen, terwijl een computer, die bestaat uit een formeel systeem dat niet zal kunnen.
Meer weten:
Incompleteness, Rebecca Goldstein, 2005
On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, Kurt Gödel, 1992.